Varians Av En Glidande Medelvärde Processen

Standardavvikelse och varians. Och det bra med standardavvikelsen är att det är användbart Nu kan vi visa vilka höjder som ligger inom en standardavvikelse 147 mm av Mean. So, med standardavvikelsen har vi ett vanligt sätt att veta vad som är normalt , Och vad är extra stor eller extra liten. Rottweilers är långa hundar och taxor är lite korta men inte berätta för dem. Men det finns en liten förändring med provdata. Vårt exempel har varit för en befolkning de 5 hundarna är de enda hundarna vi är intresserade av. Men om uppgifterna är ett exempel ett urval taget från en större befolkning, så ändras beräkningen. När du har N datavärden som är. Befolkningen delas av N när du beräknar Varians som vi gjorde. Ett prov delas av N-1 vid beräkning av Variance. All andra beräkningar förblir desamma, inklusive hur vi beräkna medelvärdet. Exempel om våra 5 hundar är bara ett urval av en större population av hundar delar vi med 4 istället för 5 som detta. Provvariation 108.520 4 27,130.Sammanställare D Avvikelse 27,130 164 till närmaste mm. Tänk på det som en korrigering när dina data bara är ett exempel. Här är de två formlerna, förklaras med standardavvikelseformulär om du vill veta mer.2 1 Flytta genomsnittsmodeller MA models. Time Seriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller glidande medelvillkor I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln. Xt är ett fördröjt värde på xt. Exempelvis är en lag 1-autoregressiv term x t -1 multiplicerat med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel multiplicerat med en koefficient. Låt wt överskridas N 0, sigma 2w, vilket betyder att vikten är identiskt oberoende fördelad, Var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1 st ordningsrörande genomsnittsmodellen betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket av denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är de teoretiska egenskaperna följande. Notera att den enda nonzero värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff icients of models med MA termer Det är inte något vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibility-begränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast en omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simulering standardvärden betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prick summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som orsakssammanställning av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt ord MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Detta sista steg använder ett grundläggande faktum om geometriska serier som kräver phi1 1 annars serierna avviker. Frågan jag har relaterar till att beräkna variansen av AR 1-processer som jämnas med en Enkelt rörligt medelvärde So. I en AR 1-process av formen kan variansen beräknas som. Där sigma är standardavvikelsen för varepsilon ett vitt brus och varphi är variabeln som definierar autokorrelationsegenskaperna för AR 1-processen. Jag skulle Gillar att kunna beräkna variansen av AR 1-processen efter utjämning med ett enkelt obesvikt glidmedel för olika fönsterstorlekar har jag hittills tittat på problemet analytiskt med data, och eftersom fönsterstorleken hos det glidande medlet ökar variansen faller uppenbarligen och vägen i Vilket det faller, dvs ränta och form beror på varphi. När det glidande medelfönstret är lika med N, analyseras storleken på datasetet då variansen är 0.I slutligen finns det ett sätt att bestämma den förväntade variansen av AR 1 i form av varphi, N och storleken på det glidande medelfönstret. En annan pekare mottog tacksamt. askad 31 aug 13 kl 7 12. Tack jag antar att jag kanske saknar något men kodekvationen för MAvar verkar inte matcha det härledda Var-ekvation ovan Kan du ge mer information om hur den slutliga ekvationen är framme också, med tanke på att när det glidande medelfönstret är lika med N måste varet vara noll, behöver ekvationen inte uttryckas i form av N user29771 Sep 1 13 på 8 11. swisslog, jag ändrade bara ordningen av vissa termer i MAvar jämfört med den sista ekvationen, så de borde vara samma jag har lagt till två rader till avledningen, resten är ett par geometriska summor och förenklingar När det gäller N är saken att vi tittar på en teoretisk varians, inte empirisk och eftersom teoretisk varians inte i teorin i teorin i teorin aldrig behöver vara noll så väl som den inte beror på N Julius Sep 1 13 på 10 23. Ett annat sätt att göra är att beräkna direkt med egenskaperna hos auto-covariancesna som är gamma k rho gamma 0, där gamma 0 sigma 1 - rho är variansen. Därmed är genomsnittsvärdet för K perioder ges av början tilde x frac1K summa gränser x slut Medelvärdet är matte E tilde x frac1K summa limits mathbb E x mu och betecknar hatt xx - mu för att simplify notation Variansen ges av början V tillde x mathbb E vänster vänster frac1K summa gräns x - tfrac mu höger höger frac1 mathbb E vänster vänster su m gränser x - mu höger höger frac1 mathbb E vänster vänster summa gränser hatt x höger höger ände Denna kvadratiska matris av N gånger N element med ij elementet som är hatt x hatt x kan skrivas med avseende på dess diagonala och två gånger den övre triangulära matrisen som övre och nedre halvor är symmetriska börjar V tilldex frac1 mathbb E lämnat summa gränser hatt x summa gränser summa gränser 2 hatt x hatt x höger frac1 mathbb E vänster summa gränser gamma 0 2 summa gränser summa gränser gamma ji höger ände som med en Omordning av summan i sista termen från summa gränser summa gränser gamma ji till summa gränser summa gränser gamma j och återkalla att gamma k rho gamma 0 då börja summa gränser summa gränser gamma j gamma 0 summa gränser summa gränser rho slut Nu geometriska summa gränser rho rho rho ldots rho kan förenklas till summa gränser rho tfrac som lämnar dig med början summa gränser summa gränser gamma j frac summa gränser 1 - rho slutet Och slutbeloppet kan förenklas enligt följande börja summa gränser 1 - rho 1 - rho 1 - rho ldots 1 - rho K-1 - rho ldots rho K-1 - vänster frac höger ände Kombinera tillsammans igen börjar vi V tilde x frac1 mathbb E vänster summa gränser gamma 0 2 summa gränser summa gränser gamma j höger frac1 vänster K gamma 0 2 frac vänster K-1 - Vänster frac höger höger höger sida eller efter någon algebra fotnot frac vänster K 2 frac vänster K-1 - vänster frac höger höger höger frak 1 - rho vänster 1 rm 2 rho K-1 - vänster frac 1 rho höger höger frac 1 - rätst på vänster 1 rm - 2 rätst - vänster frak 1 rm till höger till höger 1 v - rätst till vänster 1 rm 1 rm - 2 rho 1 - rho - 2 rho 1 rätst från höger 1 - rätst 1 rm kvar vänster K 1 - rho - 2 rho 1 - rho höger änden börjar V tilldex frac 1 - rho 1 - r mot vänster K 1 - rho - 2 rho 1 - rho höger ände. Använda Julius s metod ovan får jag exakt samma svar som detta som väl Hoppas det hjälper. svarade 9 sep 13 kl 17 09.